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Frequenzen zum Erleben und Erlesen

 

Alle vier Wellenformen – Sinus, Rechteck, Sägezahn und Dreieck – sind fundamentale Bausteine in der Signalverarbeitung und Akustik. Während die Sinuswelle nur eine einzige Frequenz enthält und daher sehr „rein“ klingt, weisen die anderen drei Formen durch ihre abrupteren Übergänge (bei Rechteck und Sägezahn) oder durch ihre linearen Auf- und Abstiege (bei der Dreieckwelle) ein reichhaltiges Spektrum an Obertönen auf. Diese Obertonstrukturen werden mit der Fourier-Analyse genau beschrieben, die beweist, dass man jedes periodische Signal aus der Summe von Sinus- und Kosinuswellen rekonstruieren kann. Dieses Wissen ist zentral in Bereichen wie der Audiotechnik, digitalen Signalverarbeitung und sogar in der Musikproduktion.

1. Sinuswelle

Die Sinuswelle ist die grundlegendste Form eines periodischen Signals und wird oft als "reiner Ton" bezeichnet. Mathematisch wird sie beschrieben durch:

y(t) = A · sin(2π · f · t + φ)

Dabei ist A die Amplitude (Höhe der Welle), f die Frequenz (wie oft die Welle in einer Sekunde schwingt) und φ die Phasenverschiebung (Startpunkt der Schwingung). Die Sinuswelle verläuft glatt und stetig ohne plötzliche Sprünge. Wegen ihrer einfachen Struktur enthält sie nur eine einzelne Frequenz – die sogenannte Grundfrequenz. Das macht sie zum idealen Baustein, denn laut Fourier-Theorie kann man jedes periodische Signal als Summe mehrerer Sinuswellen darstellen.

2. Rechteckwelle

Im Gegensatz zur Sinuswelle wechselt die Rechteckwelle abrupt zwischen zwei festen Amplituden, etwa A und -A. Diese plötzlichen Wechsel erzeugen scharfe, klare Kanten im Signal. Mathematisch wird die Rechteckwelle durch eine Fourier-Reihe beschrieben, in der nur ungerade harmonische Frequenzen vorkommen:

y(t) = (4A/π) · [sin(2π·f·t) + (1/3)·sin(2π·3f·t) + (1/5)·sin(2π·5f·t) + …]

Weil bei dieser Darstellung immer wieder höhere ungerade Vielfache der Grundfrequenz summiert werden, enthält die Rechteckwelle viele Obertöne. Diese Vielzahl an hohen Frequenzen sorgt dafür, dass der Klang oft als "harsh" oder "boomy" empfunden wird.

3. Sägezahnwelle

Die Sägezahnwelle hat einen charakteristischen Verlauf: Sie steigt linear an (oder fällt linear ab) und springt dann plötzlich zurück zum Ausgangswert, sodass in jedem Zyklus eine kontinuierliche Steigung und ein abrupter Abbruch sichtbar sind. Ihre Fourier-Reihe umfasst alle harmonischen Frequenzen (sowohl gerade als auch ungerade) mit alternierenden Vorzeichen:

y(t) = (2A/π) · [sin(2π·f·t) − (1/2)·sin(2π·2f·t) + (1/3)·sin(2π·3f·t) − …]

Durch diese Mischung entsteht ein sehr brillanter Klang, der aufgrund der vielen Obertonanteile auch oft in Synthesizern eingesetzt wird.

4. Dreieckwelle

Die Dreieckwelle zeichnet sich durch einen gleichmäßigen Anstieg und einen gleichmäßigen Abfall aus – sie sieht aus wie eine Serie von Dreiecken. Ihre Fourier-Reihe ähnelt der der Rechteckwelle, jedoch nehmen die Amplituden der Harmonischen hier schneller ab (nämlich mit dem Quadrat der Frequenz, also 1/n²):

y(t) = (8A/π²) · [sin(2π·f·t) − (1/3²)·sin(2π·3f·t) + (1/5²)·sin(2π·5f·t) − …]

Diese schnelle Abnahme der höheren Harmonischen führt dazu, dass die Dreieckwelle im Vergleich zu einer Rechteck- oder Sägezahnwelle einen sehr weichen und „sanften“ Klang besitzt.